فرض کنید فردا صبح از خواب بیدار شویم و بفهمیم تمام انسانهای روی زمین، به شکلی عجیب، مفهوم عدد را فراموش کردهاند. آیا با فراموش کردن ما، ریاضیات نیز از جهان حذف شده است؟
به گزارش خبرآنلاین، به نقل از دیجیاتو، وقتی میپرسیم ریاضیات اختراع شده یا کشف، منظورمان این نیست که چه کسی علامت + را ساخته یا چه کسی برای نخستین بار از نماد صفر استفاده کرده است. میدانیم که بسیاری از نمادها و قراردادهای ریاضی ساخته انسان هستند. ما میتوانستیم عدد سه را بهجای ۳ با هر نشانهی دیگری نمایش دهیم. حتی دستگاه عددنویسی دهدهی ما احتمالاً تا حد زیادی به این واقعیت مربوط است که انسان ده انگشت دارد. معما را باید جای دیگر جستجو کرد. آیا چیزهایی که این نمادها به آنها اشاره میکنند نیز ساخته ما هستند؟
π مثال خوبی است. ما این نماد را انتخاب کردهایم، اما چیزی که π به آن اشاره میکند انتخاب ما نیست. با تقسیم کردن محیط هر دایره بر قطر آن، فارغ از اندازه دایره، همیشه به یک نسبت ثابت میرسیم. انسانها قرنها و حتی هزاران سال پیش از رایجشدن نماد π، این نسبت را میشناختند و برای محاسبه دقیقتر آن تلاش میکردند. امروز میدانیم که این عدد گنگ است، یعنی اعشارش بدون وارد شدن به الگویی تکراری، ادامه پیدا میکند.
میتوانیم اسم π و نمادش را عوض کنیم یا حتی هیچ اسمی برایش نداشته باشیم. اما آیا میتوانیم نسبت محیط دایره به قطرش را تغییر دهیم؟ و دقیقاً از همینجا اختلاف اصلی شروع میشود. ریاضیات را ساختهایم یا کشف کردهایم؟
یکی از قدیمیترین پاسخها به این پرسش این است که ما ریاضیات را نمیسازیم، بلکه آن را کشف میکنیم. این دیدگاه معمولاً با نام واقعگرایی ریاضی شناخته میشود و مشهورترین صورت آن، افلاطونگرایی ریاضی است.
ایده اصلی در نگاه اول عجیب، اما ساده است. اعداد و اشکال ریاضی ساخته ذهن ما نیستند، بلکه مستقل از ما وجود دارند، البته نه به همان شکلی که یک میز، درخت یا سیاره وجود دارد. به عدد هفت فکر کنید. میتوانید هفت سیب، هفت ستاره یا هفت نفر را ببینید، اما هرگز نمیتوانید خود هفت را نشان دهید یا روی میز بگذارید. بااینحال، گزاره «۷ میان ۶ و ۸ قرار دارد» چیزی شبیه یک قرارداد یا سلیقه انسانی بهنظر نمیرسد. نمیتوانیم تصمیم بگیریم از فردا ۷ دیگر میان ۶ و ۸ نباشد.
در دیدگاه افلاطونگرا، اشیای ریاضی مادی نیستند، اما این به معنای خیالیبودنشان نیست. آنها واقعیتهایی مستقل هستند که ذهن انسان میتواند آنها را کشف کند. دید افلاطونگرا دقیقاً از همینجا نتیجه میگیرد که عدد هفت چیزی بیش از یک نشانه یا ساخته ذهن ماست. ما ۷ را بهعنوان نماد انتخاب کردهایم، اما حقیقت ریاضی را که این نماد به آن اشاره میکند، نساختهایم فقط آن را شناختهایم.
البته همه فیلسوفان چنین برداشتی ندارند. در برابر افلاطونگرایی، دیدگاههایی مانند نامگرایی و داستانانگاری ریاضی قرار میگیرند. نامگرایی میکوشد ریاضیات را بدون فرض وجود موجودات انتزاعی توضیح دهد و آن را به اشیای واقعی و روابط میان آنها پیوند بزند. داستانانگاری از این هم جلوتر میرود و میگوید شاید ریاضیات چیزی شبیه یک داستان بسیار منسجم و فوقالعاده کارآمد باشد. زبانی که میتوان با آن جهان را توصیف کرد، بیآنکه لازم باشد اعداد و دیگر اشیای ریاضی واقعاً جایی وجود داشته باشند.
اما افلاطونگرایی یک مشکل جدی دارد. اگر اعداد بیرون از جهان مادی قرار دارند، ما چگونه آنها را میشناسیم؟ پاسخ قطعی برای این پرسش وجود ندارد. بااینحال، شگفتی ماجرا اینجاست که جهان فیزیکی بارها نشان میدهد بهطرزی عمیق از ساختارهای ریاضی پیروی میکند.
در سال ۱۹۶۰، فیزیکدان آمریکایی «یوجین ویگنر» (Eugene Wigner) پرسشی مطرح کرد که بعدها به یکی از مشهورترین معماهای فلسفه علم تبدیل شد: اثربخشی نامعقول ریاضیات در علوم طبیعی. چیزی که ویگنر را شگفتزده میکرد، کاربرد ریاضیات در فیزیک نبود، این بود که چرا ریاضیات تا این حد خوب با جهان واقعی جور درمیآید.
ادوارد ویتن (Edward Witten)، فیزیکدان نظری، این هماهنگی میان ریاضیات و جهان فیزیکی را حتی وهمآور میداند. عجیب اینجاست که بعضی از ساختارهای ریاضی، سالها پیش از آنکه کاربردی در فیزیک پیدا کنند، فقط از روی کنجکاوی بررسی شدهاند. اما بعدها معلوم شد دقیقاً همان چیزی هستند که برای توصیف طبیعت لازم بوده است.
تصور کنید ریاضیدانی فقط برای کنجکاوی روی ساختاری کاملاً انتزاعی کار کند؛ ساختاری که در زمان خودش هیچ کاربردی ندارد. چند دهه یا چند قرن بعد، فیزیکدانی کشف کند که همان ساختار دقیقاً زبانی است که برای توصیف بخشی از طبیعت به آن نیاز دارد. این اتفاق در تاریخ علم بارها تکرار شده است.
همین نکته برای «راجر پنروز» (Roger Penrose) اهمیت زیادی دارد. از نظر او، موفقیت عجیب ریاضیات در توصیف طبیعت میتواند نشانهای باشد از اینکه حقایق ریاضی فقط ساخته ذهن ما نیستند. گاهی یک نظریه فیزیکی، فراتر از دانستههای زمان خودش، پدیدههایی را پیشبینی میکند که سالها بعد واقعاً مشاهده میشوند.
از این دید، انگار ریاضیات چیزی نیست که ما به زور روی طبیعت سوار کرده باشیم، بلکه خود جهان از ابتدا با نوعی نظم ریاضی ساخته شده است. پس سؤال دوباره برمیگردد: اگر ریاضیات فقط ساخته ذهن ماست، چرا اینقدر خوب با جهان واقعی جور درمیآید؟
داستان عددی که نباید وجود میداشت
برای دیدن عمق این معما، شاید هیچ مثالی بهاندازه اعداد موهومی جذاب نباشد. چند قرن پیش، ریاضیدانان اروپایی درگیر حل معادلات درجهسوم بودند؛ مسئلهای که امروز ممکن است شبیه یک تمرین جبری معمولی بهنظر برسد، اما آن زمان یکی از دشوارترین مسائل ریاضیات بود. در جریان این تلاشها، پای چیز عجیبی به محاسبات باز شد: جذر عدد منفی. در میان اعداد حقیقی، هیچ عددی نیست که مربعش منفی شود. پس جذر عدد منفی چه معنایی میتوانست داشته باشد؟
برای مدتی، چنین عددی بیمعنا بهنظر میرسید. «رنه دکارت» (René Descartes) بعدها آن را موهومی نامید. بااینحال، ریاضیدانان بهجای حذف این ایده، آن را جدی گرفتند: عددی را تعریف کردند که مربعش برابر با منفی یک باشد و آن را i نامیدند. درادامه، این ایده به یکی از غنیترین بخشهای ریاضیات، یعنی اعداد مختلط، منتهی شد.
اما بخش عجیب ماجرا چند قرن بعد شروع شد. وقتی فیزیکدانان فیزیک کوانتوم را صورتبندی کردند، i دوباره ظاهر شد، البته نه بهعنوان یک بازی ریاضی، بلکه در قلب نظریه. در معادله شرودینگر، اعداد مختلط نقش اساسی دارند. چیزی که زمانی نشانه یک جواب ناممکن بهنظر میرسید، حالا بخشی از زبان یکی از موفقترین نظریههای فیزیک بود و همین ما را دوباره به همان سؤال قدیمی میرساند: اگر اعداد موهومی را اختراع کردهایم، چرا طبیعت اینقدر خوب با آنها کار میکند؟ و اگر آنها را کشف کردهایم، پیش از ما کجا بودند؟
هندسهای که دو هزار سال کسی جرات باورش را نداشت
مثال بعدی عجیبتر است. حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد، اقلیدس در کتاب اصول روشی قدرتمند بنا کرد: چند اصل پایه را بپذیر و با منطق، قضیههای پیچیدهتر را از آنها نتیجه بگیر. اما اصل پنجم، یعنی اصل خطوط موازی، همیشه مسئلهساز بود. ریاضیدانان قرنها گمان میکردند میتوان آن را از اصول دیگر اثبات کرد. نسلهای زیادی تلاش کردند، اما هیچکس موفق نشد.
تا اینکه در قرن نوزدهم، لوباچفسکی و بویویی سؤال متفاوتی پرسیدند: اگر اصل پنجم را اصلاً نپذیریم چه؟ برخلاف انتظار، هیچ فاجعهای رخ نداد و تناقضی به وجود نیامد، فقط هندسهای تازه متولد شد.
در هندسه اقلیدسی، از نقطهای بیرون یک خط فقط یک خط موازی میگذرد. اما میتوان هندسههای کاملاً سازگاری ساخت که در آنها چند خط موازی وجود دارند یا اصلاً خط موازی وجود ندارد. انگار پس از دو هزار سال، ناگهان دیواری کنار رفته باشد و جهانهای دیگری آشکار شوند.
این کشف به نفع ایده اختراع ریاضیات بود: اگر با تغییر اصول اولیه میتوان جهانهای ریاضی متفاوتی ساخت، شاید ریاضی چیزی شبیه یک بازی باشد: ما قواعد را انتخاب و بعد پیامدهایشان را کشف میکنیم.
اما داستان به اینجا ختم نشد. «برنهارد ریمان» (Bernhard Riemann) هندسه فضاهای خمیده را گسترش داد؛ شاخهای از ریاضیات که در زمان خودش کاملاً انتزاعی بهنظر میرسید. چند دهه بعد، آلبرت اینشتین در نظریه نسبیت عام نشان داد که همین هندسه میتواند گرانش را توصیف کند.
ناگهان ریاضیاتی که زمانی بیشتر شبیه یک بازی ذهنی بود، به زبان توصیف گرانش و کیهان تبدیل شد و همان پرسش دوباره مطرح شد: آیا ما هندسه ریمانی را اختراع کردیم و طبیعت تصادفاً با آن سازگار از آب درآمد یا ریمان چیزی را کشف کرده بود که جهان میلیاردها سال پیش از ما از آن پیروی میکرد؟
پس شاید ریاضیات فقط مجموعهای از قواعد باشد
تا اینجا شاید کفه کشف ریاضیات سنگینتر بهنظر برسد، اما ماجرا هنوز تمام نشده است. طرف مقابل استدلال مهمی دارد: بخش بزرگی از ریاضیات با انتخاب تعاریف و اصول اولیه آغاز میشود. ما مجموعهای از قواعد را تعیین میکنیم و سپس در مورد نتایج آنها سؤال میپرسیم. اگر این اصول تغییر کنند، ممکن است به جهانی کاملاً متفاوت از ریاضیات برسیم.
از این نگاه، ریاضیات کمی شبیه شطرنج است. قواعد شطرنج را ما ساختهایم، اما پس از مشخص شدن قواعد، دیگر نتایج دست ما نیستند. مثلاً در یک موقعیت مشخص، سفید یا میتواند در سه حرکت حریف را مات کند یا نه؛ این جواب را قواعد بازی تعیین میکنند، نه نظر ما. این نگاه به دیدگاهی بهنام صورتگرایی نزدیک است. یعنی شاید ما قواعد و چارچوب ریاضی را بسازیم، اما چیزهایی را که از دل آن بیرون میآیند، کشف کنیم.
طبیعت ریاضی دارد یا ما طبیعت را ریاضی میبینیم؟
یک دلیل دیگر هم برای احتیاط وجود دارد: مغز انسان عاشق پیدا کردن الگوهاست. وقتی مارپیچ یک صدف، چیدمان دانههای آفتابگردان یا شکل شاخههای یک گیاه را میبینیم، خیلی راحت به این نتیجه میرسیم که طبیعت انگار از روی یک فرمول ریاضی ساخته شده است.
یکی از معروفترین مثالها دنباله فیبوناچی است: ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱ و … . در این دنباله، هر عدد از جمع دو عدد قبلی بهدست میآید. الگوهای مرتبط با فیبوناچی و نسبت طلایی واقعاً در بعضی فرایندهای رشد گیاهان، مثل آرایش برگها یا دانهها، دیده میشوند.
اما باید کمی محتاط بود. خیلی از چیزهایی که به فیبوناچی یا نسبت طلایی ربط داده میشوند، اغراق شده هستند. نکته مهمتر این است که بعضی الگوهای ریاضی، بهخاطر محدودیتهای رشد، فضا و بهینهسازی، بارها در طبیعت تکرار میشوند. اینجا دوباره همان سؤال مطرح میشود: آیا طبیعت واقعاً ساختاری ریاضی دارد یا این ما هستیم که ریاضیات را برای توصیف الگوهایش ساختهایم؟ شاید جهان ذاتاً ریاضی نباشد و ما فقط با یک عینک ریاضی به آن نگاه کنیم. اما اگر چنین است، چرا این عینک تا این حد دقیق کار میکند؟
یک آزمایش ذهنی ساده انجام دهید. فرض کنید همین امروز مفهوم عدد اول را تعریف کردهایم: عددی طبیعی بزرگتر از یک که فقط بر یک و خودش بخشپذیر است. تا اینجا، همهچیز شبیه یک اختراع انسانی بهنظر میرسد.
اما حالا یک سؤال مطرح میشود: تعداد اعداد اول محدود است یا بینهایت؟ اینجا دیگر جواب دست ما نیست. نمیتوانیم تصمیم بگیریم که از جایی به بعد اعداد اول تمام شوند. اقلیدس بیش از دو هزار سال پیش ثابت کرد که تعداد آنها بینهایت است. یعنی وقتی یک مفهوم را تعریف میکنیم، بعضی نتایج دیگر به انتخاب ما بستگی ندارند و ناگزیر از دل همان تعریف بهدست میآیند.
شاید برای همین است که بسیاری از ریاضیدانان درباره کارشان با زبان کشف حرف میزنند. آنها ممکن است سالها روی یک مسئله کار کنند، بارها مسیرهای اشتباهی بروند و درنهایت به نتیجهای برسند که اصلاً انتظارش را نداشتند.
گودل آمد و همهچیز را پیچیدهتر کرد
اوایل قرن بیستم، بعضی ریاضیدانان رویای بزرگی داشتند: ساختن پایهای آنقدر محکم برای ریاضیات که بتوان با مجموعهای دقیق از اصول، هر گزاره را اثبات یا رد کرد. «دیوید هیلبرت» (David Hilbert) یکی از چهرههای اصلی این تلاش بود. اما در سال ۱۹۳۱، «کورت گودل» (Kurt Gödel) نشان داد این رویا محدودیتی اساسی دارد. به زبان ساده، گودل نشان داد که در بعضی نظامهای ریاضی، حقایقی وجود دارند که درست هستند، اما با قواعد همان نظام نمیتوان آنها را ثابت کرد.
البته قضیه گودل ثابت نمیکند که ریاضیات حتماً کشف میشود یا افلاطونگرایی درست است. اما نشان میدهد تصویر ریاضیات بهعنوان ماشینی که فقط طبق چند قانون نمادها را جابهجا میکند، بیش از حد ساده است.
جالبتر اینکه همین پرسشهای انتزاعی بعدها به نظریه محاسبه رسیدند. «آلن تورینگ» (Alan Turing) در بررسی مسئله تصمیمپذیری، مفهوم ماشین تورینگ را مطرح کرد، ایدهای که بعدها به یکی از پایههای نظری علوم کامپیوتر تبدیل شد. باز همان الگو تکرار شد: مسئلهای بسیار انتزاعی درباره بنیان ریاضیات، درنهایت به ایدههایی رسید که پشت کامپیوترهای امروزی قرار دارند.
چرا جهانهای انتزاعیِ ریاضی اینقدر خوب به جهان واقعی وصل میشوند؟
هندسه نااقلیدسی میتوانست فقط موضوعی در ریاضیات محض بماند. اعداد مختلط هم میتوانستند صرفاً ابزاری برای حل معادلات باشند. اما بارها دیدهایم که چنین ایدههایی بعدها وارد فیزیک، مهندسی و علوم دیگر شدهاند.
این همان معمایی است که ویگنر روی آن تأکید داشت: چرا ریاضیات تا این حد در توصیف طبیعت موفق است؟ شاید چون خود جهان ساختاری ریاضی دارد. شاید هم هر جهانی که در آن الگو، کمیت و رابطه وجود داشته باشد، ناگزیر تا حدی با ریاضیات قابل توصیف است.
البته ممکن است ما بیشتر آن بخشهایی از ریاضیات را به یاد بیاوریم که کاربرد پیدا کردهاند و شاخههای بیکاربرد را کمتر ببینیم. بااینحال، موفقیت بعضی نظریههای ریاضی در توضیح جهان هنوز هم چیزی شگفتانگیز است.
آزمایش نهایی: اگر فردا موجودات فضایی پیام بفرستند چه؟
حالا بیایید آزمایش فکری اعداد اول را یک قدم جلوتر ببریم. فرض کنید رادیوتلسکوپها پیامی از یک تمدن فرازمینی دریافت کنند. آن موجودات احتمالاً فارسی، انگلیسی یا چینی نمیدانند؛ شاید حتی شیوه ارتباط و حواسشان کاملاً با ما متفاوت باشد. در چنین شرایطی، چطور میتوانیم نشان دهیم که پیام ما از طرف یک تمدن هوشمند فرستاده شده است؟
یکی از اولین گزینهها احتمالاً استفاده از الگوهای ریاضی است؛ مثلاً دنباله اعداد اول: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷ … . دلیلش ساده است: ما تصور میکنیم این الگو نه ایرانی است، نه زمینی و نه حتی انسانی. اگر تمدنی دیگر هم به مفهوم شمارش و عدد رسیده باشد، شاید سرانجام متوجه همان ویژگی شود: بعضی عددها فقط بر یک و خودشان بخشپذیرند.
البته هیچ تضمینی وجود ندارد. ممکن است شیوه نمایش اعداد، دستگاه شمارش یا حتی مسیر شکلگیری ریاضیات در یک تمدن بیگانه کاملاً متفاوت باشد. پس صحبت درباره ریاضیات موجودات فضایی درنهایت یک آزمایش فکری است، نه یک مشاهده علمی.
اما همین آزمایش سؤال اصلی را روشنتر میکند: اگر دو تمدن که هیچ ارتباطی با هم نداشتهاند، مستقل از یکدیگر به یک حقیقت درباره اعداد اول برسند، آیا نمیشود گفت آن حقیقت را کشف کردهاند؟ از طرف دیگر، شاید هر دو فقط به این دلیل به ریاضیات مشابهی رسیده باشند که با جهانی مشابه روبهرو بودهاند و برای حل مسائل مشابه، ابزارهای مشابهی ساختهاند. بنابراین، حتی این آزمایش فکری هم پاسخ نهایی را به ما نمیدهد.
پس بالاخره ریاضیات اختراع است یا کشف؟
شاید مشکل از خود سؤال باشد؛ چون ریاضیات انگار همزمان نشانههایی از هر دو را دارد. ما نمادها، تعاریف و اصول اولیه را میسازیم، اما از جایی به بعد اختیار از دستمان خارج میشود. میتوانیم مفهوم عدد اول را تعریف کنیم، اما نمیتوانیم تصمیم بگیریم تعداد اعداد اول محدود باشد. میتوانیم عدد (i) را وارد ریاضیات کنیم، اما روابطی که بعد از آن شکل میگیرند دیگر تابع سلیقه ما نیستند. انگار ما در را میسازیم، اما آنچه پشت در پیدا میکنیم لزوماً ساخته ما نیست.
ماجرا وقتی عجیبتر میشود که همین ساختارهای انتزاعی، گاهی سالها یا قرنها بعد در طبیعت ظاهر میشوند. اعداد مختلط به قلب فیزیک کوانتوم راه پیدا میکنند و هندسههای خمیده به زبان توصیف گرانش تبدیل میشوند. چیزهایی که زمانی فقط بازیهای ذهنی بودند، ناگهان برای فهم جهان ضروری میشوند.
حالا جهانی را تصور کنید که هیچ انسانی در آن وجود ندارد؛ نه کتابی، نه عددی روی کاغذ و نه ذهنی که نام π یا عدد اول را بداند. بااینحال سیارهها میچرخند، ستارهها شکل میگیرند و الگوهای طبیعت همچنان برقرارند.
آیا در آن جهان، حقایق ریاضی هنوز وجود دارند؟
اگر پاسخ بله باشد، شاید ریاضیات مدتها پیش از پیدایش ما در جهان وجود داشته است و ما فقط آن را کشف کردهایم. اگر پاسخ نه باشد، ماجرا حتی شگفتانگیزتر میشود: ذهن انسان زبانی ساخته که میتواند جهانی را توضیح دهد که میلیاردها سال پیش از خود او وجود داشته است.
اما یک چیز از هر دو عجیبتر است: چرا جهان اصلاً به زبانی پاسخ میدهد که ما آن را ریاضیات مینامیم؟
۵۸۵۸
کد مطلب 2262449
-
ریاضی کشف شد یا اختراع؟
-
موشک سرگردان از آب بیرون کشیده شد
-
چرا بعضی خودروها دستگیره عقب مخفی دارند؟
-
چرا گربهها ناله میکنند؟ / پشت این صدای بلند و زوزهمانند چیست؟
-
چرا گربهها ناله میکنند؟ / پشت این صدای بلند و زوزهمانند چیست؟